Câu 2. (5,00 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn: Với mỗi số nguyên dương $m$, nếu $d_1<d_2<\dots <d_n$ là toàn bộ các ước dương của $m$ thì
$$f(d_1)f(d_2)\cdots f(d_n)=m.$$

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án: $f(1)=1$; $f(n)=p$ nếu $n=p^k$ là lũy thừa của một số nguyên tố ($k\ge 1$); $f(n)=1$ nếu $n$ có ít nhất hai ước nguyên tố phân biệt.

**Bước 1: f bị xác định duy nhất bởi đệ quy.** Với $m=1$, tập ước là $\{1\}$ nên $f(1)=1$. Giả sử $f(d)$ đã biết với mọi $d<m$. Với $m$, điều kiện ${\prod }_{d\mid m}f(d)=m$ cho $f(m)=\frac{m}{{\prod }_{d\mid m,d<m}f(d)}$, nên $f(m)$ hoàn toàn bị xác định. Do đó nếu nghiệm tồn tại thì duy nhất.

**Bước 2: Kiểm tra hàm ứng viên.** Đặt
$$f(1)=1,f(p^k)=p(p\text{ nguyeˆn toˆˊ},k\ge 1),f(n)=1\text{ neˆˊu }n\text{ coˊ}\ge 2\text{ ước nguyeˆn toˆˊ phaˆn biệt}.$$
Xét $m={\prod }_{i=1}^s{p}_i^{a_i}$. Với mỗi $p_i$, các ước của $m$ có dạng $p_i^j$ ($1\le j\le a_i$) đúng là $a_i$ ước, mỗi ước cho giá trị $f=p_i$, đóng góp $p_i^{a_i}$. Mọi ước khác (bằng 1 hoặc có ít nhất hai ước nguyên tố phân biệt) đóng góp $1$. Vậy
$$\prod _{d\mid m}f(d)=\prod _{i=1}^s{p}_i^{a_i}=m,$$
đúng với mọi $m$. (Ví dụ: $m=12$: $f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12)=1\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1=12$.)

**Kết luận:** Hàm cần tìm là hàm duy nhất: $f(1)=1$; $f(n)=p$ khi $n=p^k$ ($p$ nguyên tố, $k\ge 1$); $f(n)=1$ khi $n$ có ít nhất hai ước nguyên tố phân biệt.