Câu 3. (5,00 điểm) Cho các số nguyên $a$, $b$, $c$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=p$. Chứng minh rằng $abc$ là lũy thừa bậc 3 của một số nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=p$ nên $abc\ne 0$.

Bước 1: Đặt $d=\gcd (a,b,c)$, viết $a=dx,b=dy,c=dz$ với $\gcd (x,y,z)=1$. Khi đó
$$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=p⟺x^{2}z+x{y}^2+y{z}^2=pxyz.(\ast )$$

Bước 2: Chứng minh $x,y,z$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Giả sử có số nguyên tố $q$ chia cả $x$ và $y$; khi đó $q\nmid z$. Đặt $\alpha =v_q(x)\ge 1$, $\beta =v_q(y)\ge 1$, $v_q(z)=0$.

Từ $(\ast )$: $x\mid y{z}^2$ cho $\alpha \le 2\beta$; $y\mid x^{2}z$ cho $\beta \le 2\alpha$.

Chia $(\ast )$ cho $q^{\alpha +\beta }$, giá trị $q$-adic của ba số hạng bên trái lần lượt là $\alpha -\beta ,\beta ,-\alpha$; vế phải có giá trị $q$-adic bằng $0$ (nếu $q\ne p$) hoặc $1$ (nếu $q=p$), tức là số nguyên.

- Nếu $\beta <2\alpha$: số hạng $\frac{y{z}^2}{q^{\alpha +\beta }}$ là số hạng duy nhất có giá trị $q$-adic $-\alpha <0$ (do $\alpha -\beta >-\alpha$ và $\beta \ge 1$), nên tổng bên trái có giá trị $q$-adic $-\alpha <0$, không thể bằng số nguyên bên phải — vô lý.
- Nếu $\beta =2\alpha$: hai số hạng thứ nhất và thứ ba cùng có giá trị $q$-adic $-\alpha$. Viết $x=q^{\alpha }{x}^{\prime },y=q^{2\alpha }{y}^{\prime },q\nmid x^{\prime }{y}^{\prime }z$, nhân phương trình đã chia với $q^{\alpha }$:
$$q^{\alpha }{x}^{\prime 2}z+y^{\prime }{z}^2+q^{3\alpha }{x}^{\prime }{y}^{\prime 2}=p{q}^{\alpha }{x}^{\prime }{y}^{\prime }z.$$
Lấy modulo $q$: $y^{\prime }{z}^2\equiv 0(\mathrm{mod}q)$, mâu thuẫn với $q\nmid y^{\prime }z$.

Vậy không có $q$ chia cả $x,y$; lập luận tương tự cho các cặp khác ta được $\gcd (x,y)=\gcd (y,z)=\gcd (z,x)=1$.

Bước 3: Từ $x\mid y{z}^2$ và $\gcd (x,yz)=1$ suy ra $|x|=1$; tương tự $|y|=|z|=1$. Mỗi phân số $\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x}$ bằng $\pm 1$, nên tổng thuộc $\{-3,-1,1,3\}$. Vì $p$ là số nguyên tố nên $p=3$ và cả ba phân số đều bằng $1$, tức $x=y=z=\pm 1$.

Kết luận: $a=b=c=d$, do đó $abc=d^3$ là lũy thừa bậc ba của một số nguyên. $■$