Câu 2 (7,0 điểm)
Chứng minh rằng mọi số nguyên dương $n$, tồn tại số nguyên dương $m$ có biểu diễn thập phân gồm toàn các chữ số 1 và 0 sao cho $m$ chia hết cho $n$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $n+1$ số: $1,11,111,\dots ,\underset{n+1\text{ chữ soˆˊ}}{\underbrace{11\dots 1}}$. Xét phần dư khi chia cho $n$: có $n+1$ số nhưng chỉ có $n$ phần dư khác nhau, nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số $a_i=\underset{i}{\underbrace{11\dots 1}}$ và $a_j=\underset{j}{\underbrace{11\dots 1}}$ với $i>j$ có cùng phần dư khi chia cho $n$. Khi đó $n\mid a_i-a_j$. Mặt khác $a_i-a_j=\underset{i-j}{\underbrace{11\dots 1}}\underset{j}{\underbrace{00\dots 0}}=a_{i-j}\cdot 10^j$, tức là một số có biểu diễn thập phân gồm toàn các chữ số 1 và 0 (gồm $i-j$ chữ số 1 đứng đầu rồi $j$ chữ số 0). Vậy đặt $m=a_i-a_j$ thì $m$ là số nguyên dương, biểu diễn thập phân chỉ gồm chữ số 1 và 0, và $n\mid m$. Đpcm. (Kiểm tra: phép trừ hai số repunit cùng dạng luôn cho các chữ số 1 và 0; tính chất chia hết đúng do hai số cùng phần dư.)