Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$ và đường thẳng $d:4x-3y+3=0$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Sai. Đường thẳng $d$ có 1 VTCP là $\vec{u}(3;4)$.

b) Đúng. Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=5$.

c) Đúng.
Cách 1: Nhận thấy đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\Delta :3x+4y+14=0$ vuông góc với đường thẳng $d$.

Lại có $d_{(I,\Delta )}=\frac{\left|3.1+4.2+14\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5=R$ nên $\Delta$ là một tiếp tuyến của (C).

Cách 2: Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) và vuông góc với $d$. Khi đó $\Delta :3x+4y+c=0$.

Vì $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) nên $d_{(I,\Delta )}=R\iff \frac{\left|3.1+4.2+c\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5\iff \left[\begin{array}{c}c=14\\ c=-36\end{array}\right]$

d) Đúng.

Vì $(C^{\prime })$ tâm $I^{\prime }(1;-1)$ tiếp xúc với đường thẳng d nên (C') có bán kính là $R^{\prime }=d_{(I^{\prime },d)}=\frac{\left|4.1-3.(-1)+3\right|}{\sqrt{(-3{)}^2+4^2}}=2$

Phương trình của đường tròn $(C^{\prime })$ tâm $I^{\prime }(1;-1)$, bán kính R'=2 là $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=4$
a) Sai. Đường thẳng $d$ có 1 VTCP là $\vec{u}(3;4)$.
b) Đúng. Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=5$.
c) Đúng.
Cách 1: Nhận thấy đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\Delta :3x+4y+14=0$ vuông góc với đường thẳng $d$.

Lại có $d_{(I,\Delta )}=\frac{\left|3.1+4.2+14\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5=R$ nên $\Delta$ là một tiếp tuyến của (C).

Cách 2: Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) và vuông góc với $d$. Khi đó $\Delta :3x+4y+c=0$.

Vì $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) nên $d_{(I,\Delta )}=R\iff \frac{\left|3.1+4.2+c\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5\iff \left[\begin{array}{c}c=14\\ c=-36\end{array}\right]$
d) Đúng.

Vì $(C^{\prime })$ tâm $I^{\prime }(1;-1)$ tiếp xúc với đường thẳng d nên (C') có bán kính là $R^{\prime }=d_{(I^{\prime },d)}=\frac{\left|4.1-3.(-1)+3\right|}{\sqrt{(-3{)}^2+4^2}}=2$

Phương trình của đường tròn $(C^{\prime })$ tâm $I^{\prime }(1;-1)$, bán kính R'=2 là $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=4$