Câu 3. (2 điểm) Cho $f(x)=x^2-2(m+1012)x+m^2-2024m-2025$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ thỏa mãn $f(x)\ge 0\forall x\in [2025;2026]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^2-2(m+1012)x+m^2-2024m-2025$ là parabol hướng lên, có đỉnh tại $x=m+1012$.

Nếu $2025\le m+1012\le 2026$ (tức $1013\le m\le 1014$) thì giá trị nhỏ nhất trên đoạn là $f(m+1012)=m^2-2024m-2025-(m+1012{)}^2=-4048m-1026169<0$, không thỏa mãn.

Vậy đỉnh nằm ngoài đoạn $[2025;2026]$, khi đó chỉ cần kiểm tra hai đầu mút:

$f(2025)=2025^2-2(m+1012)\cdot 2025+m^2-2024m-2025=m^2-6074m=m(m-6074)$.

$f(2026)=2026^2-2(m+1012)\cdot 2026+m^2-2024m-2025=m^2-6076m+2027$.

Điều kiện $f(2025)\ge 0$: $m\le 0$ hoặc $m\ge 6074$.

Điều kiện $f(2026)\ge 0$: $m^2-6076m+2027\ge 0$. Phương trình $m^2-6076m+2027=0$ có $\Delta =6076^2-4\cdot 2027=36909668=4\cdot 9227417$, nên hai nghiệm $m_1=3038-\sqrt{9227417}\approx 0,336$ và $m_2=3038+\sqrt{9227417}\approx 6075,66$. Do đó $m\le m_1$ hoặc $m\ge m_2$.

Kết hợp: với $m\le 0$ thì $m+1012\le 1012<2025$, hàm số tăng trên đoạn, min tại $x=2025$, thỏa mãn; với $m\ge m_2$ thì $m+1012>2026$, hàm số giảm trên đoạn, min tại $x=2026$, thỏa mãn.

Vậy $m\le 0$ hoặc $m\ge 3038+\sqrt{9227417}$ (tức $m\in (-\infty ;0]\cup \left[3038+\sqrt{9227417};+\infty \right)$).