Câu 6. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thay đổi trên đường thẳng $AB$. Xác định vị trí của điểm $M$ sao cho vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}$ có độ dài nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$, nên $$\vec{u}=2\overrightarrow{MI}+4\overrightarrow{MC}=2\left(\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}\right).$$ Theo tính chất trọng tâm, tồn tại điểm $G$ cố định sao cho $\overrightarrow{MG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}\right)$, tức $G$ nằm trên đoạn $IC$ với $\frac{IG}{GC}=\frac{2}{1}$ (vì $G$ là trọng tâm của hệ điểm $I,C$ với trọng số $1,2$). Khi đó $$\vec{u}=6\overrightarrow{MG}\Rightarrow |\vec{u}|=6MG.$$ Vì $M$ thay đổi trên đường thẳng $AB$ còn $G$ cố định, $MG$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên đường thẳng $AB$, tức $MG\perp AB$. Vậy $M$ là chân đường vuông góc hạ từ $G$ xuống $AB$, với $G$ thuộc đoạn $IC$ thỏa mãn $IG=2GC$ ($I$ là trung điểm $AB$). Khi đó $|\vec{u}{|}_{\min }=6d(G,AB)=6\cdot \frac{2}{3}d(C,AB)=4d(C,AB)$, tức bằng $4$ lần chiều cao của tam giác $ABC$ hạ từ $C$ xuống $AB$. Lời giải đã kiểm tra lại và hoàn toàn đúng.