Câu 4. (2 điểm) Cho hình thang $ABCD$ với hai đáy là $AD,BC$. Chứng minh rằng $$\cot BAC-\cot BDC=\frac{A{B}^2+A{C}^2-D{B}^2-D{C}^2}{4S}$$ với $S$ là diện tích của tam giác $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét then chốt: vì $AD\parallel BC$ nên tam giác $DBC$ và tam giác $ABC$ có chung đáy $BC$ và chung đường cao (khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $AD$ và $BC$), do đó $S_{DBC}=S_{ABC}=S$.

Bổ đề: với tam giác bất kỳ có ba cạnh $x,y,z$ và góc $\alpha$ đối diện cạnh $z$, diện tích $T$, ta có
$$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}}{\frac{2T}{xy}}=\frac{x^2+y^2-z^2}{4T}.$$

Áp dụng:
- Trong tam giác $ABC$: $\cot \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{4S}$.
- Trong tam giác $DBC$: $\cot \widehat{BDC}=\frac{D{B}^2+D{C}^2-B{C}^2}{4S_{DBC}}=\frac{D{B}^2+D{C}^2-B{C}^2}{4S}$.

Trừ vế theo vế:
$$\cot \widehat{BAC}-\cot \widehat{BDC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2-(D{B}^2+D{C}^2-B{C}^2)}{4S}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-D{B}^2-D{C}^2}{4S}.$$

Đẳng thức được chứng minh.