Câu 3. (3,0 điểm)
a) Cho $n$ là số nguyên dương, đặt $A=\left(n+1\right)\left(n+2\right)...\left(2n\right)$. Chứng minh $2^n\mid A$.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố $a,b,c,m,n$ thỏa mãn $a=\sqrt{b^2+c}-\sqrt{m^2+n}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $A=(n+1)(n+2)\cdots (2n)=\frac{(2n)!}{n!}$. Với số nguyên tố $p$, dùng công thức Legendre $v_p(k!)={\sum }_{i\ge 1}\lfloor k/p^i\rfloor$, và công thức $v_2(k!)=k-s_2(k)$ với $s_2(k)$ là tổng các chữ số của $k$ trong hệ nhị phân. Vì $s_2(2n)=s_2(n)$ (nhân với 2 chỉ thêm số 0 vào cuối biểu diễn nhị phân), ta được
$$v_2(A)=v_2((2n)!)-v_2(n!)=(2n-s_2(2n))-(n-s_2(n))=n.$