Câu 6. (3,0 điểm) Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+ac\ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{2+a+b+c}{1+a+b+c+ab+ac}-\frac{16}{ab+ac+3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $p=ab+ac=a(b+c)\ge 1$ và $s=a+b+c=a+(b+c)$. Theo AM–GM, $s\ge 2\sqrt{a(b+c)}=2\sqrt{p}$, dấu '=' khi $a=b+c=\sqrt{p}$.

Xét số hạng đầu với $p$ cố định: $\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{2+s}{1+s+p}\right)=\frac{(1+s+p)-(2+s)}{(1+s+p{)}^2}=\frac{p-1}{(1+s+p{)}^2}\ge 0$ vì $p\ge 1$. Vậy với $p>1$, số hạng đầu nhỏ nhất khi $s=2\sqrt{p}$; khi $p=1$ thì $1+s+p=s+2$ nên số hạng đầu bằng $1$ với mọi $s$.

Do đó với mọi $p\ge 1$:
$$T\ge \frac{2+2\sqrt{p}}{1+p+2\sqrt{p}}-\frac{16}{p+3}=\frac{2}{1+\sqrt{p}}-\frac{16}{p+3}.$$
Đặt $x=\sqrt{p}\ge 1$, cần chứng minh $g(x)=\frac{2}{1+x}-\frac{16}{x^2+3}\ge -3$. Thật vậy:
$$g(x)+3=\frac{2(x^2+3)+3(1+x)(x^2+3)-16(1+x)}{(1+x)(x^2+3)}=\frac{3x^3+5x^2-7x-1}{(1+x)(x^2+3)}=\frac{(x-1)(3x^2+8x+1)}{(1+x)(x^2+3)}\ge 0$$
vì $x\ge 1$ và $3x^2+8x+1>0$. Vậy $T\ge -3$.

Dấu '=' xảy ra khi $x=1$, tức $p=ab+ac=1$ (khi đó số hạng đầu đúng bằng $1$ với mọi $a+b+c$). Kiểm tra: với $ab+ac=1$ thì $T=\frac{2+a+b+c}{2+a+b+c}-\frac{16}{4}=1-4=-3$.

Kết luận: $\min T=-3$, đạt được khi $ab+ac=1$ (ví dụ $a=1,b+c=1$, chẳng hạn $a=1,b=c=\frac{1}{2}$: kiểm tra $ab+ac=1$, $T=\frac{4}{4}-\frac{16}{4}=-3$).