Câu 4. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đạo hàm $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình sau:


a) Đúng. Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)<0$, suy ra hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $(-1;1)$.
b) Sai. Đồ thị $f^{\prime }(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại $x=-1$ và cắt trục hoành tại $x=2$, nên $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu qua $x=2$. Do đó hàm số $y=f(x)$ chỉ có đúng $1$ điểm cực trị.
c) Sai. Tại $x=-1$, đạo hàm không đổi dấu khi đi qua điểm này nên $x=-1$ không phải là điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$.
d) Đúng. Từ đồ thị xác định được $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2(x-2)=x^3-3x-2$. Đặt $g(x)=f^{\prime }(x)=x^3-3x-2$, khi đó $g^{\prime }(x)=3x^2-3>0$ với mọi $x>1$, nên $g$ đồng biến trên đoạn $[1;5]$. Do đó ${\max }_{[1;5]}{f}^{\prime }(x)=g(5)=5^3-3(5)-2=108$.