Câu 5. Một nhóm học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có Hoàng và 5 học sinh nữ trong đó có Lan được xếp thành một hàng dọc. Gọi $m$ là số cách xếp thỏa mãn các học sinh nam nữ đứng xen kẽ nhau sao cho Hoàng và Lan không đứng liên tiếp nhau. Giá trị $\frac{m}{32}$ bằng bao nhiêu?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 123, trang 5), Câu 5 (Phần III, câu 21) có đáp số là $576$.

Có $2$ trường hợp xếp xen kẽ: Nam ở vị trí lẻ, Nữ ở vị trí chẵn hoặc ngược lại.
Xét trường hợp Nam ở vị trí lẻ, Nữ ở vị trí chẵn:
- Số cách xếp 5 nam và 5 nữ tùy ý là $5!\cdot 5!=120\cdot 120=14400$.
- Số cách xếp sao cho Hoàng và Lan đứng cạnh nhau:
Hoàng ở một trong các vị trí lẻ $\{1,3,5,7,9\}$, Lan ở một trong các vị trí chẵn kề nó. Có tất cả $1+2+2+2+2=9$ cặp vị trí kề nhau.
Với mỗi cặp vị trí của Hoàng và Lan, có $4!\cdot 4!=576$ cách xếp các học sinh còn lại.
Số cách để Hoàng và Lan đứng cạnh nhau là $9\cdot 576=5184$.
Số cách thỏa mãn trong trường hợp này là $14400-5184=9216$.
Trường hợp Nam ở vị trí chẵn, Nữ ở vị trí lẻ tương tự cũng có $9216$ cách.
Tổng số cách thỏa mãn là $m=2\cdot 9216=18432$.
Vậy $\frac{m}{32}=\frac{18432}{32}=576$.