Câu 6 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và $k$ sao cho:
$$(n+1{)}^n=2.n^k+3.n+1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta giải phương trình $(n+1{)}^n=2n^k+3n+1$ với $n,k$ nguyên dương.

**Trường hợp $k=1$:** Phương trình trở thành $(n+1{)}^n=5n+1$. Với $n=1$: $2\ne 6$. Với $n=2$: $9\ne 11$. Với $n=3$: $4^3=64\ne 16=5\cdot 3+1$. Với $n\ge 4$: $(n+1{)}^n\ge (n+1{)}^2=n^2+2n+1>5n+1$ (vì $n^2-3n=n(n-3)>0$ khi $n\ge 4$). Vậy không có nghiệm với $k=1$.

**Trường hợp $k\ge 2$:** Xét phương trình theo modulo $n^2$.
- VT: khai triển nhị thức $(n+1{)}^n=1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})n^2+\cdots +n^n=1+n^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})n^2+\cdots$, mọi số hạng từ số hạng thứ hai trở đi đều chia hết cho $n^2$, nên $(n+1{)}^n\equiv 1(\mathrm{mod}{n}^2)$.
- VP: do $k\ge 2$ nên $n^2\mid n^k$, suy ra $2n^k+3n+1\equiv 3n+1(\mathrm{mod}{n}^2)$.

Do đó $3n\equiv 0(\mathrm{mod}{n}^2)$, tức $n^2\mid 3n$, suy ra $n\mid 3$, vậy $n\in \{1,3\}$.

- Với $n=1$: VT $=2^1=2$, VP $=2\cdot 1^k+3+1=6$, loại.
- Với $n=3$: $4^3=64=2\cdot 3^k+9+1=2\cdot 3^k+10\Rightarrow 3^k=27\Rightarrow k=3$. Thử lại: $2\cdot 27+3\cdot 3+1=54+10=64=4^3$. Đúng.

**Kết luận:** Cặp duy nhất thỏa mãn là $(n,k)=(3,3)$.