Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;5;5)$, $B(-5;3;3)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+y^2+z^2=9$. Biết điểm $M(a;b;c)\in (S)$ thỏa mãn $MA+MB$ lớn nhất. Tính $abc$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;0), R=3. Gọi J là trung điểm AB: J(−1;4;4). Theo đẳng thức hình bình hành: MA²+MB² = 2(MJ²+AJ²), nên MA+MB ≤ √(2(MA²+MB²)) = 2√(MJ²+AJ²), dấu bằng khi MA=MB. Vì A,B ngoài mặt cầu, MJ lớn nhất bằng IJ+R khi M nằm trên đường thẳng IJ, phía đối diện J qua I. IJ = √(4+16+16)=6, nên max MJ = 9, khi đó M = I − (R/IJ)(J−I) = (1;0;0) − 0,5(−2;4;4) = (2;−2;−2). Kiểm tra: M∈(S) vì (2−1)²+4+4=9 ✓; MA=√(1+49+49)=√99, MB=√(49+25+25)=√99, tức MA=MB ✓ nên dấu bằng xảy ra, MA+MB = 2√(81+18)=6√11 lớn nhất. Vậy a=2, b=−2, c=−2, abc = 2·(−2)·(−2) = 8.