Câu lạc bộ Thiện nguyện của trường THPT Nguyễn Văn Trỗi phát động chiến dịch "Xuân yêu thương NVT" để quyên góp tiền mua quà Tết cho các em nhỏ tại một làng trẻ SOS ở địa phương. Họ tổ chức một chiến dịch quyên góp trực tuyến. Trong ngày đầu tiên (Ngày 1) phát động, họ quyên góp được 1.000.000 đồng. Ban tổ chức đặt mục tiêu: Mỗi ngày tiếp theo, số tiền quyên góp được trong ngày hôm đó sẽ tăng 20\% so với số tiền quyên góp được của ngày liền trước.
a) Giả sử chiến dịch đạt được đúng mục tiêu đề ra. Tính tổng số tiền mà CLB quyên góp được sau 1 tuần (7 ngày) của chiến dịch. (Làm tròn đến hàng nghìn đồng).
b) Mục tiêu tổng của toàn bộ chiến dịch là 50.000.000 đồng. Hỏi CLB cần duy trì chiến dịch với mục tiêu tăng trưởng 20\%/ngày như trên trong ít nhất bao nhiêu ngày để đạt được tổng số tiền mục tiêu? (Giả sử chiến dịch chỉ nhận tiền quyên góp vào cuối mỗi ngày).

a) Gọi $u_n$ là số tiền quyên góp được trong ngày thứ $n$ (đơn vị: triệu đồng).

Theo đề bài, ta có:
- Số tiền ngày 1: $u_1=1$ (triệu đồng)
- Số tiền ngày 2: $u_2=1\cdot (1+0.2)=1\cdot (1.2)$
- Số tiền ngày 3: $u_3=u_2\cdot (1.2)=1\cdot (1.2{)}^2$

Dãy số $u_1,u_2,...,u_n$ là một cấp số nhân với:
- Số hạng đầu: $u_1=1$
- Công bội: $q=1.2$
(0.25 điểm)

Tính tổng số tiền sau 7 ngày: Ta cần tính tổng số tiền quyên góp được sau 7 ngày, tức là $S_7$.
$S_7=u_1+u_2+...+u_7$
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân:
$$S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}$$
Thay $n=7$, $u_1=1$ và $q=1.2$ vào công thức:
$$S_7=1\cdot \frac{(1.2{)}^7-1}{1.2-1}$$
$$S_7\approx \frac{3.5831808-1}{0.2}$$
$$S_7\approx \frac{2.5831808}{0.2}$$
$S_7\approx 12.915904$ (triệu đồng) (0.25 điểm)

Đổi ra đồng và làm tròn đến hàng nghìn:
$12,915904\cdot \mathrm{1.000.000}\approx \mathrm{12.915.904}$ đồng.
Làm tròn đến hàng nghìn, ta được 12.916.000 đồng.

b) Chúng ta cần tìm số ngày $n$ (nguyên dương) nhỏ nhất sao cho tổng số tiền quyên góp $S_n\ge \mathrm{50.000.000}$.
Ta có bất phương trình:
$$S_n=\mathrm{1.000.000}\times \frac{(1.2{)}^n-1}{0.2}\ge \mathrm{50.000.000}$$
Rút gọn bất phương trình:
$$\frac{(1.2{)}^n-1}{0.2}\ge 50$$
$(1.2{)}^n-1\ge 10$
$(1.2{)}^n\ge 11$
Để tìm $n$, chúng ta có thể thử lần lượt các giá trị $n$.
Từ câu (a), ta biết $(1.2{)}^7\approx 3.58$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=10$: $(1.2{)}^{10}\approx 6.19$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=12$: $(1.2{)}^{12}\approx 8.92$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=13$: $(1.2{)}^{13}\approx 10.70$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=14$: $(1.2{)}^{14}\approx 12.84$ (đã lớn hơn 11).
Vậy $n=14$ là giá trị nguyên nhỏ nhất.

Kiểm tra lại bằng tổng tiền:
- Nếu $n=13$ ngày:
$$S_{13}=\mathrm{1.000.000}\times \frac{(1.2{)}^{13}-1}{0.2}\approx \mathrm{1.000.000}\times \frac{10.70-1}{0.2}=\mathrm{48.500.000}\text{ (đoˆˋng)}.$$
→ Chưa đủ 50 triệu.
- Nếu $n=14$ ngày:
$$S_{14}=\mathrm{1.000.000}\times \frac{(1.2{)}^{14}-1}{0.2}\approx \mathrm{1.000.000}\times \frac{12.84-1}{0.2}=\mathrm{59.200.000}\text{ (đoˆˋng)}.$$
→ Đã đủ 50 triệu.

Trả lời: CLB cần duy trì chiến dịch trong ít nhất 14 ngày để đạt được mục tiêu.