Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính $R$ là

Gọi $h$ là chiều cao của khối trụ ($0<h<2R$).
Bán kính đáy $r$ của khối trụ thỏa mãn:
$r^2=R^2-{\left(\frac{h}{2}\right)}^2=R^2-\frac{h^2}{4}.$

Thể tích khối trụ là:
$V=\pi r^{2}h=\pi \left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)h=\pi \left(R^{2}h-\frac{h^3}{4}\right).$

Xét hàm số $f(h)=R^{2}h-\frac{h^3}{4}$ với $h\in (0;2R)$:
$f^{\prime }(h)=R^2-\frac{3h^2}{4}=0\iff h=\frac{2R}{\sqrt{3}}=\frac{2R\sqrt{3}}{3}.$

Vậy chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất là $h=\frac{2R\sqrt{3}}{3}$.