Cho $\sin \alpha =\frac{2}{3}\left(0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }\right)$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$. Theo định lý cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, suy ra $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$ (dương). a) ${\cos }^2\alpha =\frac{5}{9}$: đúng. b) $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$: sai vì $\cos \alpha >0$ với góc nhọn. c) $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$: đúng. d) Thay $\sin \alpha =\frac{2}{3},\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$: $\frac{\sin \alpha +\sqrt{5}\cos \alpha }{2\sin \alpha +\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}+\frac{5}{3}}{\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{7}{4+\sqrt{5}}$: đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ nhọn nên $\cos \alpha =+\frac{\sqrt{5}}{3}>0$, không phải $-\frac{\sqrt{5}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay vào biểu thức: $\frac{\frac{2}{3}+\frac{5}{3}}{\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{7}{4+\sqrt{5}}$.