Cho $\sin \alpha =\frac{2}{3}\left(0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }\right)$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, suy ra $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$ (dương). a) ${\cos }^2\alpha =\frac{5}{9}$: Đúng. b) $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$: Sai vì $\cos \alpha >0$. c) $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$: Đúng. d) $\frac{\sin \alpha +\sqrt{5}\cos \alpha }{2\sin \alpha +\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}+\sqrt{5}\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{4+\sqrt{5}}{3}}=\frac{7}{4+\sqrt{5}}$: Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$, do đó $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$ chứ không âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $\sin \alpha =\frac{2}{3}$, $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$: tử số $=\frac{2+5}{3}=\frac{7}{3}$, mẫu số $=\frac{4+\sqrt{5}}{3}$, thương bằng $\frac{7}{4+\sqrt{5}}$.