Cho $\cos \alpha =\frac{2}{3}$ và $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin \alpha <0$. Ta có $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$. a) Sai vì $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (dấu âm). b) Sai vì $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\cdot \frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{5}}{9}\ne \sin \alpha \cos \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{9}$. c) Đúng vì $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{4}{9}-1=-\frac{1}{9}$. d) Đúng vì $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{15}}{6}=\frac{2+\sqrt{15}}{6}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Do $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV nên $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$, không phải $+\frac{\sqrt{5}}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{4\sqrt{5}}{9}\ne \sin \alpha \cos \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{9}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=\frac{8}{9}-1=-\frac{1}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{2+\sqrt{15}}{6}$.