Cho $\cos \alpha =\frac{3}{4}$ với $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\sin \alpha <0$ và $\tan \alpha <0$.

a) Sai: Theo hệ thức cơ bản ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ nên $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$ (dấu trừ vì $\sin \alpha <0$), không phải $+\frac{\sqrt{7}}{4}$.

b) Đúng: $\cos (\alpha +21\pi )=\cos (\alpha +\pi +20\pi )=\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha =-\frac{3}{4}$.

c) Đúng: Với $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{\sqrt{7}}{3}$, ta có
$$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\tan \alpha +\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\tan \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{7}}{3}+\sqrt{3}}{1+\frac{\sqrt{21}}{3}}=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{3+\sqrt{21}}.$$
Kiểm tra số: $\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})\approx \frac{1.7321-0.8819}{1+0.8819\cdot 1.7321}\approx 0.3364$, cộng $\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2.3094$ được $\approx 2.6458=\sqrt{7}$. Vậy $M=\sqrt{7}$.

d) Sai: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\cdot \frac{3}{4}=-\frac{3\sqrt{7}}{8}\ne -\frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp bảng chấm mã đề 102 Phần II Câu 2 (a: S, b: Đ, c: Đ, d: S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0$: $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}\ne \frac{\sqrt{7}}{4}$. Ý a) Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos (\alpha +21\pi )=\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha =-\frac{3}{4}$. Ý b) Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $\tan \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{3}$, $\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{3+\sqrt{21}}\approx 0.3364$; cộng $\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2.3094$ được $\sqrt{7}\approx 2.6458$. Ý c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{3\sqrt{7}}{8}\ne -\frac{3\sqrt{7}}{16}$. Ý d) Sai.