Cho $\cos a=-\frac{1}{\sqrt{5}}$, $a\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, tính giá trị: $T=\sin \left(2a-\frac{\pi }{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên $\sin a>0$: $\sin a=\sqrt{1-{\cos }^{2}a}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Do đó:
$$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{4}{5},$$
$$\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1=2\cdot \frac{1}{5}-1=-\frac{3}{5}.$$

Áp dụng công thức sin của hiệu:
$$T=\sin \left(2a-\frac{\pi }{3}\right)=\sin 2a\cos \frac{\pi }{3}-\cos 2a\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{2}{5}+\frac{3\sqrt{3}}{10}=\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}.$$

Kết quả trùng với đáp án nguồn $\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}$.