Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thỏa mãn ${\log }_{a}b=\frac{3}{2},{\log }_{c}d=\frac{5}{4}$. Nếu $a-c=9$ thì $b-d$ nhận giá trị nào?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 37 chọn đáp án D.

Từ ${\log }_{a}b=\frac{3}{2}⟹b=a^{3/2}$. Vì $a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $a$ phải là số chính phương, đặt $a=x^2$ ($x\in {\mathbb{Z}}^{+}$), suy ra $b=x^3$.
Từ ${\log }_{c}d=\frac{5}{4}⟹d=c^{5/4}$. Vì $c,d\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $c$ phải là lũy thừa bậc 4, đặt $c=y^4$ ($y\in {\mathbb{Z}}^{+},y>1$ vì $c\ne 1$), suy ra $d=y^5$.
Ta có $a-c=9⟺x^2-y^4=9⟺x^2-(y^2{)}^2=9$.
Với $y=2⟹y^4=16⟹x^2=25⟹x=5$ (thỏa mãn).
Khi đó $b=5^3=125$ và $d=2^5=32$.
Vậy $b-d=125-32=93$.

Chọn đáp án D.