Cho $\Delta ABC$, $M$ là một điểm trên cạnh $BC$. Khi đó đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow{AM}=\frac{MC}{BC}.\overrightarrow{AB}+\frac{MB}{BC}.\overrightarrow{AC}$
B. $\overrightarrow{BM}=\frac{MA}{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{MB}{AB}.\overrightarrow{BC}$
C. $3\overrightarrow{CM}=\frac{MB}{AC}.\overrightarrow{AB}+\frac{MA}{AB}.\overrightarrow{AC}$
D. $2\overrightarrow{AM}=\frac{MC}{BC}.\overrightarrow{AB}+\frac{MB}{BC}.\overrightarrow{AC}$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $BC$ nên $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ cùng phương, và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BC}$... Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}$. Nhân hai đẳng thức với $\frac{MC}{BC}$ và $\frac{MB}{BC}$ rồi cộng lại: $$\overrightarrow{AM}=\frac{MC}{BC}\overrightarrow{AB}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{AC}+\frac{MC}{BC}\overrightarrow{BM}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{CM}.$$ Vì $M$ trên đoạn $BC$ nên $\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{CM}$ ngược hướng, do đó $\frac{MC}{BC}\overrightarrow{BM}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{CM}=\vec{0}$ (hai hệ số dương, độ dài $\frac{MC}{BC}\cdot MB=\frac{MB}{BC}\cdot MC$). Vậy $\overrightarrow{AM}=\frac{MC}{BC}\overrightarrow{AB}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{AC}$, tức đáp án A đúng. Kiểm tra: khi $M=B$ thì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}$, công thức cho $\frac{BC}{BC}\overrightarrow{AB}+0=\overrightarrow{AB}$ ✓; khi $M=C$ thì cho $\overrightarrow{AC}$ ✓. Các phương án B, C, D sai vì B dùng hệ số theo $AB$ không phù hợp với điểm $M$ trên $BC$; C dùng hệ số $\frac{MB}{AC},\frac{MA}{AB}$ vô nghĩa về chiều; D thừa hệ số 2.