Cho bất phương trình $2{\log }_3(4x-7)+{\log }_{\frac{1}{3}}(2x+1)<2$ (*).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4x-7>0$ và $2x+1>0$ nên $x>\frac{7}{4}$ (yêu cầu chặt, không phải $x\ge \frac{7}{4}$). Với log cơ số $\frac{1}{3}$: ${\log }_{1/3}(2x+1)=-{\log }_3(2x+1)$, nên $(\ast )\iff 2{\log }_3(4x-7)-{\log }_3(2x+1)<2\iff {\log }_3\left[\frac{(4x-7{)}^2}{2x+1}\right]<2\iff (4x-7{)}^2<9(2x+1)\iff 16x^2-74x+40<0\iff 8x^2-37x+20<0$. Nghiệm: $x=\frac{37\pm 27}{16}$, tức $\frac{5}{8}<x<4$. Kết hợp $x>\frac{7}{4}$ được $S=\left(\frac{7}{4};4\right)$. Vậy $a=\frac{7}{4}$, $b=4$, $8a+2b^2=14+32=46$ (đúng). Ý b: vế phải đúng phải là ${\log }_3[9(2x+1)]$ chứ không phải ${\log }_3[2(2x+1)]$ (sai). Ý c: điều kiện là $x>\frac{7}{4}$ chặt (sai). Ý d: đúng theo tính chất đổi cơ số.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S=\left(\frac{7}{4};4\right)$ nên $8a+2b^2=8\cdot \frac{7}{4}+2\cdot 16=14+32=46$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\ast )\iff 2{\log }_3(4x-7)<2+{\log }_3(2x+1)={\log }_3[9(2x+1)]$, không phải ${\log }_3[2(2x+1)]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định là $x>\frac{7}{4}$ (yêu cầu chặt vì $4x-7>0$).
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{1/3}(2x+1)={\log }_{3^{-1}}(2x+1)=-{\log }_3(2x+1)$, đúng.