Cho bất phương trình $m\sqrt{1-x}+12\sqrt{1-x^2}\ge 16x+3m\sqrt{1+x}+2m+15$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-9;9]$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in [-1;1]$?

Bất phương trình tương đương: $m(\sqrt{1-x}-3\sqrt{1+x}-2)\ge 16x+15-12\sqrt{1-x^2}$.
Xét tại $x=1$: $m(-3\sqrt{2}-2)\ge 31\Rightarrow m\le \frac{31}{-3\sqrt{2}-2}\approx -4,96$.
Xét tại $x=-1$: $m(\sqrt{2}-2)\ge -1\Rightarrow m(-0,585)\ge -1\Rightarrow m\le \frac{-1}{\sqrt{2}-2}=\frac{1}{2-\sqrt{2}}\approx 1,7$.
Từ các điều kiện biên và biến đổi hàm số, các giá trị nguyên thỏa mãn trên $[-9;9]$ là $m\in \{-9,-8,-7,-6,-5\}$, có đúng 5 giá trị nguyên.