Cho biểu thức $A=\frac{{\sin }^8\alpha }{8}+\frac{{\cos }^8\alpha }{27}$. Biết $\frac{{\sin }^4\alpha }{2}+\frac{{\cos }^4\alpha }{3}=\frac{1}{5}$. Tính giá trị của $5A$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $s={\sin }^2\alpha$, $c={\cos }^2\alpha$ với $s+c=1$. Giả thiết $\frac{s^2}{2}+\frac{c^2}{3}=\frac{1}{5}$, nhân 6: $3s^2+2c^2=\frac{6}{5}$. Thay $c=1-s$: $3s^2+2(1-2s+s^2)=\frac{6}{5}\Rightarrow 5s^2-4s+\frac{4}{5}=0\Rightarrow 25s^2-20s+4=0\Rightarrow (5s-2{)}^2=0$. Vậy $s=\frac{2}{5}$, $c=\frac{3}{5}$, tức ${\sin }^2\alpha =\frac{2}{5}$, ${\cos }^2\alpha =\frac{3}{5}$. Do đó ${\sin }^8\alpha ={\left(\frac{2}{5}\right)}^4=\frac{16}{625}$, ${\cos }^8\alpha ={\left(\frac{3}{5}\right)}^4=\frac{81}{625}$. Khi đó $A=\frac{16}{625\cdot 8}+\frac{81}{625\cdot 27}=\frac{2}{625}+\frac{3}{625}=\frac{5}{625}=\frac{1}{125}$. Suy ra $5A=\frac{5}{125}=\frac{1}{25}=0,04$, khớp với đáp số nguồn. Vậy $5A=0,04$.