Cho biểu thức $T=3x-2y-4$ với $x$ và $y$ thỏa mãn hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x-y-1\le 0\\ x+4y+9\ge 0\\ x-2y+3\ge 0\end{array}.$$ Biết $T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=x_0$ và $y=y_0$. Tính $x_0^2+y_0^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng: $x-y-1=0$, $x+4y+9=0$, $x-2y+3=0$.

- Giao của $x-y-1=0$ và $x+4y+9=0$: thay $x=y+1$ vào phương trình thứ hai: $y+1+4y+9=0\Rightarrow y=-2$, $x=-1$. Kiểm tra $x-2y+3=-1+4+3=6\ge 0$: thỏa. Đỉnh $A(-1;-2)$.
- Giao của $x-y-1=0$ và $x-2y+3=0$: thay $x=y+1$: $y+1-2y+3=0\Rightarrow y=4$, $x=5$. Kiểm tra $x+4y+9=5+16+9=30\ge 0$: thỏa. Đỉnh $B(5;4)$.
- Giao của $x+4y+9=0$ và $x-2y+3=0$: từ $x=-9-4y$, thay vào: $-9-4y-2y+3=0\Rightarrow y=-1$, $x=-5$. Kiểm tra $x-y-1=-5+1-1=-3\le 0$: thỏa. Đỉnh $C(-5;-1)$.

Vì $T=3x-2y-4$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất đạt tại một đỉnh của miền nghiệm:
- $T(A)=3(-1)-2(-2)-4=-3+4-4=-3$
- $T(B)=3(5)-2(4)-4=15-8-4=3$
- $T(C)=3(-5)-2(-1)-4=-15+2-4=-17$

Vậy $T$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_0=-5$, $y_0=-1$, do đó $x_0^2+y_0^2=25+1=26$.