Cho các dãy số $(u_n)$ $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=2u_n\end{array}$ , $(v_n):v_n=-2n-21$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=2^{n-1}$ (cấp số nhân công bội 2, số hạng đầu 1) và $v_n=-2n-21$ là cấp số cộng công sai $-2$.

a) Sai: $u_n=2^{n-1}\to +\infty$ khi $n\to +\infty$ nên dãy không bị chặn trên.

b) Sai: $v_{n+1}-v_n=-2$ (hằng số) nên $(v_n)$ là cấp số cộng công sai $-2$, không phải cấp số nhân.

c) Đúng: $v_{50}=-2\cdot 50-21=-121$.

d) Sai: với $k=1,\dots ,20$ ta có $u_k-u_{k+5}=2^{k-1}-2^{k+4}=2^{k-1}(1-32)=-31\cdot 2^{k-1}$, nên $\frac{1}{u_k-u_{k+5}}=\frac{-1}{31\cdot 2^{k-1}}$. Do đó $T=-\frac{1}{31}\sum _{k=1}^{20}\frac{1}{2^{k-1}}=-\frac{1}{31}\cdot \frac{1-2^{-20}}{1-\frac{1}{2}}=-\frac{2}{31}\cdot \frac{2^{20}-1}{2^{20}}=\frac{1-2^{20}}{31\cdot 2^{19}}$.

Kết quả đúng là $T=\frac{1-2^{20}}{31\cdot 2^{19}}$, khác với khẳng định $\frac{1-2^{20}}{15\cdot 2^{19}}$ (tử số $31\ne 15$), nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2^{n-1}$ tăng không giới hạn nên không bị chặn trên.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v_{n+1}-v_n=-2$ hằng số nên $(v_n)$ là cấp số cộng, không phải cấp số nhân.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v_{50}=-2\cdot 50-21=-121$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_k-u_{k+5}=-31\cdot 2^{k-1}$, tổng cấp số nhân cho $T=\frac{1-2^{20}}{31\cdot 2^{19}}\ne \frac{1-2^{20}}{15\cdot 2^{19}}$.