Cho các số phức $z,w,u$ thỏa mãn $|z-4+2i|=|2z+\bar{z}|$, $\frac{w-8-10i}{w-6-10i}$ là số thuần ảo và $|u+1-2i|=|u-2+i|$. Giá trị nhỏ nhất của $T=|u-z|+|\bar{u}-\bar{w}|$ thuộc khoảng nào sau đây?

Gọi $A,N_1,M$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z,w,u$ trên mặt phẳng $Oxy$.
- $|z-4+2i|=|2z+\bar{z}|\iff A(a;b)$ thuộc Parabol $(P):y=2x^2+2x-5$.
- $|u+1-2i|=|u-2+i|\iff M$ thuộc đường thẳng $(d):y=x$.
- $\frac{w-8-10i}{w-6-10i}$ là số thuần ảo $\iff N_1$ thuộc đường tròn $(C_1):(x-7{)}^2+(y-10{)}^2=1$ có tâm $I_1(7;10),R=1$ (trừ điểm $(6;10)$).

Lấy $I_2(10;7)$ đối xứng với $I_1(7;10)$ qua đường thẳng $(d):y=x$. Khi đó:

$T=|u-z|+|u-w|=MA+M{N}_1\ge MA+M{I}_1-1=MA+M{I}_2-1\ge A{I}_2-1$.

Với $A(a;2a^2+2a-5)\in (P)$, ta có $A{I}_2=\sqrt{(a-10{)}^2+(2a^2+2a-12{)}^2}\ge \sqrt{63,85}$, suy ra $T_{\min }=\sqrt{63,85}-1\approx 6,99\in (5;8)$.