Cho các số thực $a,b,c$ lớn hơn 1 thỏa mãn ${\log }_{2}a\ge (1-{\log }_{2}b\cdot {\log }_{2}c)\cdot {\log }_{bc}2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\log }_2^{2}a+28{\log }_2^{2}b+28{\log }_2^{2}c$.

Chọn B.
Đặt $x={\log }_{2}a>0$, $y={\log }_{2}b>0$, $z={\log }_{2}c>0$.
Ta có ${\log }_{bc}2=\frac{1}{{\log }_2(bc)}=\frac{1}{y+z}$.
Giả thiết trở thành:
$$x\ge \frac{1-yz}{y+z}⟺x(y+z)+yz\ge 1.$$
Ta có $(y+z{)}^2\ge 4yz⟹yz\le \frac{(y+z{)}^2}{4}$, và $28(y^2+z^2)\ge 14(y+z{)}^2$.
Đặt $u=y+z>0$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $P=x^2+28(y^2+z^2)$ đạt được bằng 7 khi $y=z=\frac{1}{2}$ và $x=1$.