Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A^{\prime }B$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$; góc giữa $A{A}^{\prime }$ với $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Khoảng cách từ $A$ đến các đường thẳng $B{B}^{\prime },D{D}^{\prime }$ cùng bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ và $(C^{\prime }CD{D}^{\prime })$ bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Chọn C.
Vì $A^{\prime }B\perp (ABCD)$ nên $B$ là hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ trên $(ABCD)$.
Do đó góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }AB}=45^{\circ }$.
Suy ra tam giác $A^{\prime }AB$ vuông cân tại $B$, do đó $A^{\prime }B=AB$.
Khoảng cách từ $A$ đến $B{B}^{\prime }$ bằng $AB=1$, do đó $A^{\prime }B=1$.
Đồng thời khoảng cách từ $A$ đến $D{D}^{\prime }$ bằng 1. Vì $ABCD$ là hình bình hành có các khoảng cách đến $B{B}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$ bằng nhau, kết hợp với góc giữa hai mặt phẳng bên bằng $60^{\circ }$, ta tính được diện tích đáy $S_{ABCD}=3$.
Khi đó thể tích khối hộp là:
$$V=S_{ABCD}\cdot A^{\prime }B=3\cdot 1=3.$$