Có bao nhiêu cặp số thực $(x;y)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $x^2+y^3=2020$ và ${\log }_{3}x\cdot {\log }_{2}y=1$?

Chọn C.
Điều kiện: $x>0,y>0$.
Từ ${\log }_{3}x\cdot {\log }_{2}y=1$, ta có ${\log }_{3}x=\frac{1}{{\log }_{2}y}={\log }_{y}2$.
Đặt $t={\log }_{3}x={\log }_{y}2>0⟹x=3^t$ và $y=2^{1/t}$.
Xét hàm số $g(t)=(3^t{)}^2+(2^{1/t}{)}^3=9^t+8^{1/t}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.
Ta có ${\lim }_{t\to 0^{+}}g(t)=+\infty$ và ${\lim }_{t\to +\infty }g(t)=+\infty$.
Đạo hàm $g^{\prime }(t)=9^t\ln 9-\frac{8^{1/t}\ln 8}{t^2}$.
Hàm số $g(t)$ nghịch biến trên $(0;t_0)$ và đồng biến trên $(t_0;+\infty )$, do đó phương trình $g(t)=2020$ có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Mỗi nghiệm $t$ cho tương ứng duy nhất một cặp $(x;y)$.
Vậy có đúng 2 cặp số thực $(x;y)$ thỏa mãn.