Cho các số thực dương $a,b,c$ và $a\ne 1,c\ne 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ (với $a\ne 1$, $c\ne 1$, $a,c>0$, $b>0$). Suy ra ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{c}a={\log }_{c}b$, tức khẳng định A đúng. Kiểm tra các phương án khác: B sai vì thiếu dấu trừ (${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, không phải $-\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$); C sai vì $\frac{{\log }_{b}c}{{\log }_{a}c}=\frac{1/{\log }_{c}b}{1/{\log }_{c}a}=\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}={\log }_{b}a\ne {\log }_{a}b$ nói chung; D sai vì ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{c}b={\log }_{c}a$ không phải đẳng thức logarit đúng nói chung (ví dụ $a=2,b=4,c=10$: ${\log }_{2}4\cdot {\log }_{10}4=2\cdot {\log }_{10}4\ne {\log }_{10}2$).