Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $a_1=1$; $a_2=2$ và $a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_{n+1}^3}{a_n^2}$, $\forall n\ge 1$.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ ta có $\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{a_{k+1}}<1$.

(AI giải đề cho tôi)
Trước hết, quy nạp cho thấy $a_n>0$ với mọi $n$: nếu $a_n,a_{n+1}>0$ thì $a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_{n+1}^3}{a_n^2}>a_{n+1}>0$; với $a_1=1>0,a_2=2>0$ thì điều này đúng với mọi $n$.

Đặt $x_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}>0$. Khi đó
$$x_{n+1}=\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=1+\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=1+x_n^2.$$
Vì $x_1=\frac{a_2}{a_1}=2>1$ và $x_{n+1}=1+x_n^2>x_n$, dãy $(x_n)$ tăng và $x_n\ge 2>1$ với mọi $n$. Do đó
$$\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{a_{k+1}}=\sum _{k=1}^m\frac{1}{x_k}.$$

Với mỗi $k$, do $x_{k+1}-1=x_k^2$ nên
$$\frac{1}{x_k-1}-\frac{1}{x_{k+1}-1}=\frac{1}{x_k-1}-\frac{1}{x_k^2}.$$
Ta có
$$\frac{1}{x_k-1}-\frac{1}{x_k^2}-\frac{1}{x_k}=\frac{x_k^2-x_k(x_k-1)-(x_k-1)}{x_k^2(x_k-1)}=\frac{1}{x_k^2(x_k-1)}>0,$$
vì $x_k>1$. Vậy
$$\frac{1}{x_k}<\frac{1}{x_k-1}-\frac{1}{x_{k+1}-1}.$$

Cộng theo $k$ từ $1$ đến $m$, vế phải là tổng dạng telescoping:
$$\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{a_{k+1}}<\sum _{k=1}^m\left(\frac{1}{x_k-1}-\frac{1}{x_{k+1}-1}\right)=\frac{1}{x_1-1}-\frac{1}{x_{m+1}-1}=1-\frac{1}{x_{m+1}-1}<1,$$
do $x_1=2$ và $x_{m+1}>1$.

Vậy với mọi số nguyên dương $m$ ta có $\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{a_{k+1}}<1$. $■$

Kiểm tra nhanh: $x_1=2,x_2=5,x_3=26$; tổng $\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{26}=0,\mathrm{788...}<1$, phù hợp với kết luận.