Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn: $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2019\\ u_{n+1}=u_n^2-4035u_n+2018^2\end{array}$$
a) Tính ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n$

b) $x_n=\frac{1}{u_1-2017}+\frac{1}{u_2-2017}+...+\frac{1}{u_n-2017}$. Tính ${\lim }_{n\to +\infty }{x}_n$

a) $u_{n+1}-u_n=u_n^2-4035u_n+2018^2-u_n=u_n^2-4036u_n+2018^2=(u_n-2018{)}^2>0$ (0.5 điểm)

$\Rightarrow (u_n)$ là dãy tăng $\Rightarrow u_n>u_{n-1}>\dots >u_2>u_1=2019$.

Chứng minh $(u_n)$ không bị chặn trên.

Giả sử $(u_n)$ bị chặn trên, do bị chặn dưới bởi $u_1$ suy ra dãy $(u_n)$ có giới hạn. (0.5 điểm)

Ta giả sử rằng $\lim u_n=a$ thì $a\ge 2019$.

Từ $u_{n+1}=u_n^2-4035u_n+2018^2$ khi $n\to +\infty$ ta được:

$a=a^2-4035a+2018^2\iff a^2-4036a+2018^2=0\iff (a-2018{)}^2=0$

$\iff a=2018$. Vô lý vì $a\ge 2019$.

Do đó dãy số $(u_n)$ không bị chặn và là dãy số tăng. Vậy $\lim u_n=+\infty$.

b) $u_{n+1}=u_n^2-4035u_n+2018^2$

$\iff u_{n+1}=u_n^2-(2017+2018)u_n+2018(2017+1)$ (0.5 điểm)

$\iff u_{n+1}-2018=u_n^2-(2017+2018)u_n+2018\cdot 2017$

$\iff u_{n+1}-2018=(u_n-2017)(u_n-2018)$

Chia hai vế cho $(u_n-2017)(u_n-2018)(u_{n+1}-2018)$ ta được:

$$\frac{1}{(u_n-2017)(u_n-2018)}=\frac{1}{u_{n+1}-2018}$$

$$\iff \frac{1}{u_n-2018}-\frac{1}{u_n-2017}=\frac{1}{u_{n+1}-2018}\iff \frac{1}{u_n-2017}=\frac{1}{u_n-2018}-\frac{1}{u_{n+1}-2018}$$

Suy ra $x_n=\frac{1}{u_1-2017}+\frac{1}{u_2-2017}+...+\frac{1}{u_n-2017}$

$$=\left(\frac{1}{u_1-2018}-\frac{1}{u_2-2018}\right)+\left(\frac{1}{u_2-2018}-\frac{1}{u_3-2018}\right)+...+\left(\frac{1}{u_n-2018}-\frac{1}{u_{n+1}-2018}\right)$$

$$=\frac{1}{u_1-2018}-\frac{1}{u_{n+1}-2018}=1-\frac{1}{u_{n+1}-2018}(vi{u}_1=2019)$$

Khi $u_n=+\infty \Rightarrow \lim x_n=\lim \left(1-\frac{1}{u_{n+1}-2018}\right)=1$ (0.5 điểm)