Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Hai đường phân giác $BD$ và $CE$ cắt nhau ở $O$. Biết số đo diện tích tam giác $BOC$ bằng $a$. Tính tích $BD.CE$ theo $a$.

Đặt $BC=x;CA=y;AB=z$.

Theo tính chất đường phân giác của $\Delta ABC$, ta có:



$$\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{z}{x}\Rightarrow \frac{DA}{DA+DC}=\frac{z}{z+x}\Rightarrow DA=\frac{yz}{z+x}(1)$$

$AO$ là phân giác $\widehat{BAD}$ nên

$$\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{DA}\Rightarrow \frac{OB}{OB+OD}=\frac{AB}{AB+DA}(2)$$

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{OB}{BD}=\frac{x+z}{x+y+z}$

Tương tự $\frac{OC}{CE}=\frac{x+y}{x+y+z}$. Từ đó

$$\frac{OB.OC}{BD.CE}=\frac{(x+y)(x+z)}{(x+y+z{)}^2}\Rightarrow \frac{OB.OC}{BD.CE}=\frac{x^2+xy+xz+yz}{2\left(x^2+xy+yz+zx\right)}=\frac{1}{2}$$

Vì $y^2+z^2=x^2$ nên $\frac{OB.OC}{BD.CE}=\frac{x^2+xy+xz+yz}{2\left(x^2+xy+yz+zx\right)}=\frac{1}{2}$

hay $BD.CE=2.OB.OC$ (3)

Để ý rằng nếu kẻ $BH\perp OC$, mặt khác dễ thấy $\widehat{BOC}=135^{\circ }$, nên $\Delta BHO$ vuông cân tại $H$.

Do đó $S_{BOC}=\frac{1}{2}BH.OC=\frac{\sqrt{2}}{4}OB.OC$, suy ra $OB.OC=2a\sqrt{2}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $BD.CE=4a\sqrt{2}$