Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+(m-1)x^2+(2m+1)x+m$ nghịch biến trên khoảng $(0;3)$.

$y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+2m+1$

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+(m-1)x^2+(2m+1)x+m$ nghịch biến trên khoảng $(0;3)\iff y^{\prime }\le 0\forall x\in (0;3)$ (0.5 điểm)

$\iff x^2+2(m-1)x+2m+1\le 0\forall x\in (0;3)$

$\iff x^2-2x+1+2m(x+1)\le 0\forall x\in (0;3)$

$\iff 2m(x+1)\le -x^2+2x-1\forall x\in (0;3)$

$\iff m\le \frac{-x^2+2x-1}{2(x+1)}\forall x\in (0;3)$. (0.5 điểm)

Xét hàm số $g(x)=\frac{-x^2+2x-1}{2(x+1)},x\in (0;3)$.

$g^{\prime }(x)=\frac{-x^2-2x+3}{2(x+1{)}^2}$.

$$g^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\in (0;3)\\ x=-3\notin (0;3)\end{array}.$$ (0.5 điểm)

Bảng biến thiên hàm số $g(x)$:

$x$	0		1		3
$g^{\prime }(x)$		+	0	−
$g(x)$	$-\frac{1}{2}$	↗	0	↘	$-\frac{1}{2}$

Từ bảng biến thiên hàm số $g(x)$ trên $(0;3)$ suy ra $m\le -\frac{1}{2}$ là thỏa mãn yêu cầu bài toán. (0.5 điểm)