Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+1}\end{array}$, với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\ge 1$. Tính giá trị của $T=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+...+\frac{1}{u_{50}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+1}$, lấy nghịch đảo: $\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2u_n+1}{u_n}=2+\frac{1}{u_n}$. Vậy dãy $v_n=\frac{1}{u_n}$ là cấp số cộng với $v_1=\frac{1}{u_1}=1$ và công sai $d=2$. Do đó $v_n=1+2(n-1)=2n-1$. Khi đó $T={\sum }_{n=1}^{50}{v}_n=\frac{50(1+99)}{2}=2500$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2500).