Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R=\sqrt{5}$ và điểm $A$ cố định thuộc đường tròn. Dây cung $BC$ thay đổi của $(O)$ luôn đi qua điểm $H(1;1)$. Khi đó trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ thuộc đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Chọn A.
Gọi $M$ là trung điểm của dây cung $BC$. Khi đó $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thỏa mãn:
$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}⟺G=V_{\left(A,\frac{2}{3}\right)}(M).$
Vì $M$ là trung điểm dây cung $BC$ của đường tròn $(O;R)$ nên quỹ tích điểm $M$ là đường tròn có bán kính $R_M\le R$.
Bán kính của đường tròn quỹ tích của $G$ là:
$R_G=\left|\frac{2}{3}\right|R_M=\frac{\sqrt{5}}{3}.$