Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=(x^3+3x^2)e^x$ và $F(0)=1$. Tính $F(1)$.

Nhận thấy đạo hàm của hàm số dạng $u(x)e^x$ là $[u(x)+u^{\prime }(x)]e^x$.
Với $u(x)=x^3$, ta có $u^{\prime }(x)=3x^2$, do đó $[x^3+3x^2]e^x=(x^3{e}^x{)}^{\prime }$.
Vậy nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)=x^3{e}^x+C$.
Theo giả thiết $F(0)=0\cdot e^0+C=1⟹C=1$.
Do đó: $F(1)=1^3\cdot e^1+1=e+1$.