Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng $60^{\circ }$, diện tích xung quanh bằng $6\pi a^2$. Tính thể tích $V$ của khối nón đã cho.

Góc ở đỉnh của hình nón bằng $60^{\circ }$ nên góc tạo bởi đường sinh và trục là $\alpha =30^{\circ }$.
Ta có: $\sin 30^{\circ }=\frac{R}{l}=\frac{1}{2}⟹l=2R$.
Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi Rl=\pi R(2R)=2\pi R^2=6\pi a^2⟹R^2=3a^2⟹R=a\sqrt{3}$.
Đường sinh $l=2a\sqrt{3}$. Chiều cao hình nón là $h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{12a^2-3a^2}=3a$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi (3a^2)(3a)=3\pi a^3.$