Cho giới hạn $L=\lim \sqrt{3+\frac{a{n}^2-1}{3+n^2}-\frac{1}{2^n}}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$ (cấp số nhân với công bội $\frac{1}{2}$, $|q|<1$) nên a) Đúng.

$\lim \frac{a{n}^2-1}{3+n^2}=\lim \frac{a-\frac{1}{n^2}}{\frac{3}{n^2}+1}=a\ne -\frac{1}{3}$ nên b) Sai.

$\lim \frac{1}{2^n}=0$ nên $L=\sqrt{3+a}$. Khi đó $L>3\iff \sqrt{3+a}>3\iff 3+a>9\iff a>6$, nên c) Đúng.

Với $a$ nguyên thuộc $(0;20)$, $L=\sqrt{3+a}$ nguyên khi $3+a$ là số chính phương trong tập $\{4,5,\dots ,22\}$, tức $3+a\in \{4,9,16\}$, cho $a\in \{1,6,13\}$: chỉ có 3 giá trị, không phải 4, nên d) Sai.

Kết quả khớp bảng đáp án nguồn (mã đề 1106, cột 2a–2d: D, S, D, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Dãy ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ là cấp số nhân với công bội $q=\frac{1}{2}$, $|q|<1$, nên $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\lim \frac{a{n}^2-1}{3+n^2}=\lim \frac{a-\frac{1}{n^2}}{\frac{3}{n^2}+1}=a\ne -\frac{1}{3}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\lim \frac{1}{2^n}=0$ và $\lim \frac{a{n}^2-1}{3+n^2}=a$ nên $L=\sqrt{3+a}$. Do đó $L>3\iff \sqrt{3+a}>3\iff a>6$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$L=\sqrt{3+a}$ nguyên khi $3+a$ là số chính phương thuộc $\{4,\dots ,22\}$, tức $3+a\in \{4,9,16\}$, cho $a\in \{1,6,13\}$: chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 4. Sai.