Cho hai đường tròn $(\omega )$ và $({\omega }^{\prime })$ có bán kính khác nhau, cắt nhau tại $A$ và $B$. Đường tròn $(A,AB)$ cắt $(\omega )$, $({\omega }^{\prime })$ tại điểm thứ hai lần lượt là $E$, $F$. Tiếp tuyến của $(A,AB)$ tại $B$ cắt $(\omega )$, $({\omega }^{\prime })$ lần lượt tại $M$, $N$ (khác $B$). Giả sử tia $ME$ và tia $NF$ cắt nhau tại $I$, $H$ là trực tâm của tam giác $BEF$.
a) Chứng minh rằng đường thẳng $AH$ đi qua tâm đường tròn $(MNI)$.
b) Tiếp tuyến tại $E$ của $(\omega )$ cắt $(A,AB)$ tại điểm thứ hai là $P$, tiếp tuyến tại $F$ của $({\omega }^{\prime })$ cắt $(A,AB)$ tại điểm thứ hai là $Q$. Gọi $J$ là giao điểm của $EF$ và $PQ$, $K$ là giao điểm của $PE$ và $QF$, $S$ là giao điểm của $IK$ và $MN$. Chứng minh rằng $HS$ vuông góc với $BJ$.