Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $A_n=1^n+2^n+3^n+4^n$.
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$, tồn tại vô hạn $n$ để $A_n⋮5^k$.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $A_n$ có tận cùng gồm đúng hai chữ số 0.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 5.**

**a)** Xét $n$ lẻ. Áp dụng định lý LTE:
$$v_5(1^n+4^n)=v_5(1+4)+v_5(n)=1+v_5(n),v_5(2^n+3^n)=v_5(2+3)+v_5(n)=1+v_5(n),$$
vì $5\mid 1+4$, $5\mid 2+3$ và $n$ lẻ. Suy ra với $n$ lẻ:
$$v_5(A_n)=v_5(1^n+4^n)+v_5(2^n+3^n)=2+2v_5(n).$$
(Chú ý: hai tổng $1^n+4^n$ và $2^n+3^n$ đều chia hết cho 5 nên có thể cộng giá trị $v_5$.)
Vậy với mỗi $k$, chọn $n=5^{k-1}m$ với $m$ lẻ tùy ý, $5\nmid m$ (có vô hạn lựa chọn), khi đó $v_5(A_n)=2+2(k-1)\ge k$ với $k\ge 2$; với $k=1$ chọn $n$ lẻ bất kỳ. Thực chất chọn $n=5^{k-1}$ (nhân thêm bất kỳ số lẻ không chia hết cho 5) cho vô hạn $n$ để $5^k\mid A_n$. Đpcm.

**b)** $A_n$ tận cùng đúng hai chữ số 0 $⟺v_2(A_n)=v_5(A_n)\ge 2$ và $\min (v_2,v_5)=2$.

• $n$ lẻ: $A_n\equiv 1+0+1+0\equiv 2(\mathrm{mod}4)$, nên $v_2(A_n)=1$: loại.

• $n$ chẵn, $n\ge 4$: $1^n\equiv 1$, $3^n\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ (vì $3^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$), $2^n\equiv 4^n\equiv 0(\mathrm{mod}8)$, nên $A_n\equiv 2(\mathrm{mod}8)$, tức $v_2(A_n)=2$. (Riêng $n=2$: $A_2=30$ chỉ có một chữ số 0, loại.)

Vậy cần và đủ: $n$ chẵn, $n\ge 4$, và $25\mid A_n$ (khi đó đúng hai chữ số 0 vì $v_2=2$).

Viết $n=2m$, xét mod 25: $A_n=1+4^m+9^m+16^m$. Chu kỳ mod 25: $4^m$ và $9^m$ có chu kỳ 10, $16^m$ có chu kỳ 5. Tính $S(m)=4^m+9^m+16^m(\mathrm{mod}25)$ với $m=1,\dots ,10$: lần lượt $4,3,14,3,24,3,24,18,4,3$.
Vậy $S(m)\equiv 24\equiv -1(\mathrm{mod}25)⟺m\equiv 5$ hoặc $7(\mathrm{mod}10)$.

Kiểm tra: $n=10$: $A_{10}=1+1024+59049+1048576=1108650$ — tận cùng đúng hai chữ số 0. $n=14$ cũng thỏa.

Kết luận: $A_n$ có tận cùng đúng hai chữ số 0 khi và chỉ khi
$$n=2m,m\equiv 5\text{ hoặc }7(\mathrm{mod}10),\text{tức }n\equiv 10\text{ hoặc }14(\mathrm{mod}20).$$