Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-3i+5|=2$ và $|i{z}_2-1+2i|=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=|2i{z}_1+3z_2|$.

Ta có:
$|z_1-3i+5|=2\iff |2i(z_1-3i+5)|=4\iff |2i{z}_1+6+10i|=4$.
Đặt $u=2i{z}_1\Rightarrow |u-(-6-10i)|=4$, tập hợp điểm biểu diễn $u$ là đường tròn tâm $I_1(-6;-10)$, bán kính $R_1=4$.
Mặt khác: $|i{z}_2-1+2i|=4\iff |z_2+2+i|=4\iff |3z_2+6+3i|=12\iff |-3z_2-6-3i|=12$.
Đặt $v=-3z_2\Rightarrow |v-(6+3i)|=12$, tập hợp điểm biểu diễn $v$ là đường tròn tâm $I_2(6;3)$, bán kính $R_2=12$.
Ta có $T=|u-v|$.
Khoảng cách giữa hai tâm: $I_1{I}_2=\sqrt{(6-(-6){)}^2+(3-(-10){)}^2}=\sqrt{12^2+13^2}=\sqrt{144+169}=\sqrt{313}$.
Giá trị lớn nhất của $T=|u-v|$ là:
$T_{\max }=I_1{I}_2+R_1+R_2=\sqrt{313}+4+12=\sqrt{313}+16.$