Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $1>a>b>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T={\log }_a^{2}b+{\log }_{ab}(a^{36})$.

Ta có $T={\log }_a^{2}b+{\log }_{ab}(a^{36})={\log }_a^{2}b+\frac{36}{{\log }_a(ab)}={\log }_a^{2}b+\frac{36}{1+{\log }_{a}b}$.
Đặt $t={\log }_{a}b$. Vì $1>a>b>0$ nên $t={\log }_{a}b>{\log }_{a}a=1$.
Xét hàm số $f(t)=t^2+\frac{36}{t+1}$ với $t>1$.
$f^{\prime }(t)=2t-\frac{36}{(t+1{)}^2}=\frac{2t(t+1{)}^2-36}{(t+1{)}^2}=\frac{2(t^3+2t^2+t-18)}{(t+1{)}^2}=\frac{2(t-2)(t^2+4t+9)}{(t+1{)}^2}$.
Với $t>1$, $f^{\prime }(t)=0\iff t=2$.
Bảng biến thiên cho thấy $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=2$:
$T_{\min }=f(2)=2^2+\frac{36}{2+1}=4+12=16$.
Chọn C.