Cho hai tập hợp $A=(-3;4]$ và $B=[m-1;m+5)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho $A\cap B\ne \varnothing$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=(-3;4]$ và $B=[m-1;m+5)$.

Trước hết tìm trường hợp để $A\cap B=\varnothing$ (hai tập hợp rời nhau):
- $B$ nằm hoàn toàn bên phải $A$: $m-1\ge 4\iff m\ge 5$.
- $B$ nằm hoàn toàn bên trái $A$: $m+5\le -3\iff m\le -8$.

Vậy $A\cap B=\varnothing \iff m\ge 5$ hoặc $m\le -8$.

Do đó $A\cap B\ne \varnothing$ khi và chỉ khi $-8<m<5$.

Kiểm tra: với $m=0$, $B=[-1;5)$ giao với $A$ tại $(-1;4]\ne \varnothing$ — đúng. Với $m=5$, $B=[4;10)$, giao với $A$ chỉ có thể tại $x=4$ nhưng $4\notin B$ (B mở tại 10, đóng tại 4, thực tế $B=[4;10)$ chứa 4, nhưng $A$ chứa 4, vậy giao chứa 4?). Xét lại: $B=[4;10)$ và $A=(-3;4]$, cả hai đều chứa $4$, nên $A\cap B=\{4\}\ne \varnothing$.

Cần xem xét lại điều kiện biên: $A\cap B=\varnothing$ khi $B$ nằm bên phải $A$ nghĩa là mọi phần tử của $B$ đều $>4$, tức $m-1>4\iff m>5$ (vì nếu $m-1=4$ thì $4\in B$ và $4\in A$). Tương tự $B$ nằm bên trái $A$: mọi phần tử của $B$ đều $\le -3$, tức $m+5\le -3\iff m\le -8$ (vì $B$ không chứa $m+5$, nên $m+5=-3$ vẫn cho $B$ nằm trong $(-\infty ;-3)$, rời $A$).

Vậy $A\cap B=\varnothing \iff m>5$ hoặc $m\le -8$, suy ra $A\cap B\ne \varnothing \iff -8<m\le 5$.

Kiểm tra lại: $m=5$: $B=[4;10)$, $A\cap B=\{4\}\ne \varnothing$ — đúng. $m=-8$: $B=[-9;-3)$, rời $A$ — đúng. $m=-7,9$: $B=[-8,9;-2,9)$ chứa $-2,95\in A$ — giao khác rỗng — đúng.

Kết luận: $m\in (-8;5]$.