Cho $\widehat{xOy}=120^{\circ }$. Hai điểm $A$, $B$ lần lượt di động trên hai tia $Ox$, $Oy$ sao cho độ dài đoạn $AB$ luôn bằng $60m$. Tam giác $OAB$ có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu (đơn vị $m^2$, làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $OA=a$, $OB=b$ với $a,b>0$. Theo định lí cosin trong tam giác $OAB$ với $\widehat{AOB}=120^{\circ }$: $A{B}^2=a^2+b^2-2ab\cos 120^{\circ }=a^2+b^2+ab=3600$. Diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}ab\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}ab$, nên cần cực đại hóa $ab$. Theo bất đẳng thức $a^2+b^2\ge 2ab$, ta có $3600=a^2+b^2+ab\ge 3ab$, suy ra $ab\le 1200$. Dấu bằng khi $a=b=\sqrt{1200}=20\sqrt{3}m$; khi đó $AB=\sqrt{3\cdot 1200}=60m$ thỏa mãn đề bài. Vậy diện tích lớn nhất là $S_{\max }=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 1200=300\sqrt{3}\approx 519.62m^2$.