Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.



Số nghiệm của phương trình $f[f(x)]=0$ là

Từ đồ thị của hàm số $y=f(x)$, ta thấy phương trình $f(u)=0$ có ba nghiệm phân biệt $u_1=a<-1$, $u_2=b\in (0;1)$, $u_3=c\in (1;3)$.
Do đó $f[f(x)]=0\iff [\begin{array}{rl}& f(x)=a<-1\\ & f(x)=b\in (0;1)\\ & f(x)=c\in (1;3)\end{array}$.

Dựa vào đồ thị:
- Đường thẳng $y=a<-1$ nằm dưới điểm cực tiểu $(1;-1)$, cắt đồ thị tại $1$ điểm duy nhất.
- Đường thẳng $y=b\in (0;1)$ nằm giữa giá trị cực tiểu $-1$ và giá trị cực đại $3$, cắt đồ thị tại $3$ điểm phân biệt.
- Đường thẳng $y=c\in (1;3)$ nằm giữa giá trị cực tiểu $-1$ và giá trị cực đại $3$, cắt đồ thị tại $3$ điểm phân biệt.

Tất cả các nghiệm trên đều phân biệt. Vậy phương trình $f[f(x)]=0$ có tất cả $1+3+3=7$ nghiệm.