Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $(9^x-10\cdot 3^{x+2}+729)\sqrt{2\ln 30-\ln (9x)}\ge 0$?

Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}9x>0\\ 2\ln 30-\ln (9x)\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ \ln (9x)\le \ln 900\end{array}\iff 0<x\le 100$.

Trường hợp 1: Nếu $2\ln 30-\ln (9x)=0\iff x=100$, bất phương trình nghiệm đúng với mọi thừa số còn lại. Do đó $x=100$ là một nghiệm.

Trường hợp 2: Với $x\in (0;100)$, ta có $\sqrt{2\ln 30-\ln (9x)}>0$, bất phương trình trở thành:
$9^x-10\cdot 3^{x+2}+729\ge 0\iff (3^x{)}^2-90\cdot 3^x+729\ge 0$.
Tam thức bậc hai theo $3^x$ có hai nghiệm là $9$ và $81$, suy ra:
$[\begin{array}{rl}& 3^x\le 9\\ & 3^x\ge 81\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x\le 2\\ & x\ge 4\end{array}$.
Kết hợp với $0<x<100$, ta được $x\in (0;2]\cup [4;100)$.

Tổng hợp cả hai trường hợp, tập nghiệm của bất phương trình là $S=(0;2]\cup [4;100]$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{1;2\}\cup \{4;5;\dots ;100\}$.
Số lượng số nguyên $x$ thỏa mãn là: $2+(100-4+1)=2+97=99$.