Cho khối nón đỉnh $S$ có đáy là đường tròn tâm $O$, bán kính $R$. Trên đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông. Biết diện tích tam giác $SAB$ bằng $2R^2$. Thể tích khối nón đã cho bằng

Tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ với $OA=OB=R$, suy ra $AB=R\sqrt{2}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, khi đó $OI=\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}$ và $OI\perp AB$.
Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SI\perp AB$.
Theo đề bài, diện tích tam giác $SAB$ bằng $R^2\sqrt{2}$ (tức $S_{△SAB}=\frac{1}{2}AB\cdot SI=R^2\sqrt{2}$):
$SI=\frac{2S_{△SAB}}{AB}=\frac{2\cdot R^2\sqrt{2}}{R\sqrt{2}}=2R$.

Tam giác $SOI$ vuông tại $O$ nên chiều cao của khối nón là:
$h=SO=\sqrt{S{I}^2-O{I}^2}=\sqrt{(2R{)}^2-{\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{4R^2-\frac{R^2}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}R$.
Thể tích khối nón đã cho là:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot \frac{\sqrt{14}}{2}R=\frac{\sqrt{14}}{6}\pi R^3$.